Двоичное кодирование. Бинарный код Как двоичный код
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях , двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах .
Двоичная запись чисел
В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1 ). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5 10 , в двоичной 101 2 . Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) , например 0b101 или соответственно &101 .
В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101 2 произносится «один ноль один».
Натуральные числа
Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как (a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}} , имеет значение:
(a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 = ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k},}Отрицательные числа
Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления (− a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 {\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}} , имеет величину:
(− a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 = − ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k . {\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k}.}дополнительном коде .
Дробные числа
Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как (a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − (m − 1) a − m) 2 {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}} , имеет величину:
(a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − (m − 1) a − m) 2 = ∑ k = − m n − 1 a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел
Таблица сложения
Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 14 10 + 5 10 = 19 10 в двоичном виде выглядит как 1110 2 + 101 2 = 10011 2):
Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 14 10 * 5 10 = 70 10 в двоичном виде выглядит как 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.
Преобразование двоичных чисел в десятичные
Допустим, дано двоичное число 110001 2 . Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:
1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49
То же самое чуть иначе:
1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
| 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||
| +32 | +16 | +0 | +0 | +0 | +1 |
Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 2 равнозначно десятичному 49 10 .
Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные
Нужно перевести число 1011010,101 2 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 −1 + 0 * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625
То же самое чуть иначе:
1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625
Или по таблице:
| 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | , | 1 | 0 | 1 |
| +64 | +0 | +16 | +8 | +0 | +2 | +0 | +0.5 | +0 | +0.125 |
Преобразование методом Горнера
Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.
Например, двоичное число 1011011 2 переводится в десятичную систему так:
0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91
То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.
Перевод дробной части чисел методом Горнера
Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).
Например 0,1101 2
(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125
Ответ: 0,1101 2 = 0,8125 10
Преобразование десятичных чисел в двоичные
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:
19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка 0
2/2 = 1 без остатка 0
1/2 = 0 с остатком 1
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011 .
Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные
Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
- Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
- В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
- Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 206 10 =11001110 2 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 2 = 0 ,232
0,232 2 = 0 ,464
0,464 2 = 0 ,928
0,928 2 = 1 ,856
0,856 2 = 1 ,712
0,712 2 = 1 ,424
0,424 2 = 0 ,848
0,848 2 = 1 ,696
0,696 2 = 1 ,392
0,392 2 = 0 ,784
и т. д.
Таким образом 0,116 10 ≈ 0,0001110110 2
Получим: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2
Применения
В цифровых устройствах
Двоичная система используется в цифровых устройствах , поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
- Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) - нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
- Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора ,
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде . Например, число −5 10 может быть записано как −101 2 но в 32-битном компьютере будет храниться как 2 .
В английской системе мер
При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″ и т. д.
Обобщения
Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде , а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование , в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления - десятичная.
История
- Полный набор из 8 триграмм и 64 гексаграмм , аналог 3-битных и 6-битных цифр, был известен в древнем Китае в классических текстах книги Перемен . Порядок гексаграмм в книге Перемен , расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом Шао Юн в XI веке . Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что Шао Юн понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке .
- Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековой геомантией .
- В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике , которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики . Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.
- В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в , в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника .
- В ноябре 1937 года Джордж Штибиц , впоследствии работавший в Bell Labs , создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «K itchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами . Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа . Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман , Джон Мокли и Норберт Винер , впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.
См. также
Примечания
- Попова Ольга Владимировна. Учебное пособие по информатике (неопр.) .
Термин «бинарный» по смыслу – состоящий из двух частей, компонентов. Таким образом бинарные коды это коды которые состоят только из двух символьных состояний например черный или белый, светлый или темный, проводник или изолятор. Бинарный код в цифровой технике это способ представления данных (чисел, слов и других) в виде комбинации двух знаков, которые можно обозначить как 0 и 1. Знаки или единицы БК называют битами. Одним из обоснований применения БК является простота и надежность накопления информации в каком-либо носителе в виде комбинации всего двух его физических состояний, например в виде изменения или постоянства светового потока при считывании с оптического кодового диска.
Существуют различные возможности кодирования информации.
Двоичный код
В цифровой технике способ представления данных (чисел, слов и других) в виде комбинации двух знаков, которые можно обозначить как 0 и 1. Знаки или единицы ДК называют битами.
Одним из обоснований применения ДК является простота и надежность накопления информации в каком-либо носителе в виде комбинации всего двух его физических состояний, например в виде изменения или постоянства магнитного потока в данной ячейке носителя магнитной записи.
Наибольшее число, которое может быть выражено двоичным кодом, зависит от количества используемых разрядов, т.е. от количества битов в комбинации, выражающей число. Например, для выражения числовых значений от 0 до 7 достаточно иметь 3-разрядный или 3-битовый код:
| числовое значение | двоичный код |
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
Отсюда видно, что для числа больше 7 при 3-разрядном коде уже нет кодовых комбинаций из 0 и 1.
Переходя от чисел к физическим величинам, сформулируем вышеприведенное утверждение в более общем виде: наибольшее количество значений m какой-либо величины (температуры, напряжения, тока и др.), которое может быть выражено двоичным кодом, зависит от числа используемых разрядов n как m=2n. Если n=3, как в рассмотренном примере, то получим 8 значений, включая ведущий 0.
Двоичный код является многошаговым кодом. Это означает, что при переходе с одного положения (значения) в другое могут изменятся несколько бит одновременно. Например число 3 в двоичном коде = 011. Число же 4 в двоичном коде = 100. Соответственно при переходе от 3 к 4 меняют свое состояние на противоположное все 3 бита одновременно. Считывание такого кода с кодового диска привело бы к тому, что из-за неизбежных отклонений (толеранцев) при производстве кодового диска изменение информации от каждой из дорожек в отдельности никогда не произойдет одновременно. Это в свою очередь привело бы к тому, что при переходе от одного числа к другому кратковременно будет выдана неверная информация. Так при вышеупомянутом переходе от числа 3 к числу 4 очень вероятна кратковременная выдача числа 7 когда, например, старший бит во время перехода поменял свое значение немного раньше чем остальные. Чтобы избежать этого, применяется так называемый одношаговый код, например так называемый Грей-код.
Код Грея
Грей-код является так называемым одношаговым кодом, т.е. при переходе от одного числа к другому всегда меняется лишь какой-то один из всех бит информации. Погрешность при считывании информации с механического кодового диска при переходе от одного числа к другому приведет лишь к тому, что переход от одного положения к другом будет лишь несколько смещен по времени, однако выдача совершенно неверного значения углового положения при переходе от одного положения к другому полностью исключается.
Преимуществом Грей-кода является также его способность зеркального отображения информации. Так инвертируя старший бит можно простым образом менять направление счета и таким образом подбирать к фактическому (физическому) направлению вращения оси. Изменение направления счета таким образом может легко изменяться управляя так называемым входом ” Complement “. Выдаваемое значение может таким образом быть возврастающим или спадающим при одном и том же физическом направлении вращения оси.
Поскольку информация выраженая в Грей-коде имеет чисто кодированный характер не несущей реальной числовой информации должен он перед дальнейшей обработкой сперва преобразован в стандартный бинарный код. Осуществляется это при помощи преобразователя кода (декодера Грей-Бинар) который к счастью легко реализируется с помощью цепи из логических элементов «исключающее или» (XOR) как програмным так и аппаратным способом.
Соответствие десятичных чисел в диапазоне от 0 до 15 двоичному коду и коду Грея
| Двоичное кодирование | Кодирование по методу Грея |
||||
| Десятичный код |
Двоичное значение | Шестнадц. значение | Десятичный код | Двоичное значение | Шестнадц. значение |
| 0 | 0000 | 0h | 0 | 0000 | 0h |
| 1 | 0001 | 1h | 1 | 0001 | 1h |
| 2 | 0010 | 2h | 3 | 0011 | 3h |
| 3 | 0011 | 3h | 2 | 0010 | 2h |
| 4 | 0100 | 4h | 6 | 0110 | 6h |
| 5 | 0101 | 5h | 7 | 0111 | 7h |
| 6 | 0110 | 6h | 5 | 0101 | 5h |
| 7 | 0111 | 7h | 4 | 0100 | 4h |
| 8 | 1000 | 8h | 12 | 1100 | Ch |
| 9 | 1001 | 9h | 13 | 1101 | Dh |
| 10 | 1010 | Ah | 15 | 1111 | Fh |
| 11 | 1011 | Bh | 14 | 1110 | Eh |
| 12 | 1100 | Ch | 10 | 1010 | Ah |
| 13 | 1101 | Dh | 11 | 1011 | Bh |
| 14 | 1110 | Eh | 9 | 1001 | 9h |
| 15 | 1111 | Fh | 8 | 1000 | 8h |
Преобразование кода Грея в привычный бинарный код можно осуществить используя простую схему с инверторами и логическими элементами “исключающее или” как показано ниже:
Код Gray-Excess
Обычный одношаговый Грей-код подходит для разрешений, которые могут быть представлены в виде числа возведенного в степень 2. В случаях где надо реализовать другие разрешения из обычного Грей-кода вырезается и используется средний его участок. Таким образом сохраняется «одношаговость» кода. Однако числовой диапазон начинается не с нуля, а смещяется на определенное значение. При обработке информации от генерируемого сигнала отнимается половина разницы между первоначальным и редуцированным разрешением. Такие разрешения как например 360? для выражения угла часто реализируются этим методом. Так 9-ти битный Грей-код равный 512 шагов, урезанный с обеих сторон на 76 шагов будет равен 360°.
Разрядность двоичного кода, Преобразование информации из непрерывной формы в дискретную, Универсальность двоичного кодирования, Равномерные и неравномерные коды, Информатика 7 класс Босова, Информатика 7 класс
1.5.1. Преобразование информации из непрерывной формы в дискретную
Для решения своих задач человеку часто приходится преобразовывать имеющуюся информацию из одной формы представления в другую. Например, при чтении вслух происходит преобразование информации из дискретной (текстовой) формы в непрерывную (звук). Во время диктанта на уроке русского языка, наоборот, происходит преобразование информации из непрерывной формы (голос учителя) в дискретную (записи учеников).
Информация, представленная в дискретной форме, значительно проще для передачи, хранения или автоматической обработки. Поэтому в компьютерной технике большое внимание уделяется методам преобразования информации из непрерывной формы в дискретную.
Дискретизация информации - процесс преобразования информации из непрерывной формы представления в дискретную.
Рассмотрим суть процесса дискретизации информации на примере.
На метеорологических станциях имеются самопишущие приборы для непрерывной записи атмосферного давления . Результатом их работы являются барограммы - кривые, показывающие, как изменялось давление в течение длительных промежутков времени. Одна из таких кривых, вычерченная прибором в течение семи часов проведения наблюдений, показана на рис. 1.9.
На основании полученной информации можно построить таблицу, содержащую показания прибора в начале измерений и на конец каждого часа наблюдений (рис. 1.10).
Полученная таблица даёт не совсем полную картину того, как изменялось давление за время наблюдений: например, не указано самое большое значение давления, имевшее место в течение четвёртого часа наблюдений. Но если занести в таблицу значения давления, наблюдаемые каждые полчаса или 15 минут, то новая таблица будет давать более полное представление о том, как изменялось давление.
Таким образом, информацию, представленную в непрерывной форме (барограмму, кривую), мы с некоторой потерей точности преобразовали в дискретную форму (таблицу).
В дальнейшем вы познакомитесь со способами дискретного представления звуковой и графической информации.
Цепочки из трёх двоичных символов получаются дополнением двухразрядных двоичных кодов справа символом 0 или 1. В итоге кодовых комбинаций из трёх двоичных символов получается 8 - вдвое больше, чем из двух двоичных символов:
Соответственно, четырёхразрядйый двоичный позволяет получить 16 кодовых комбинаций, пятиразрядный - 32, шестиразрядный - 64 и т. д. Длину двоичной цепочки - количество символов в двоичном коде - называют разрядностью двоичного кода.
Обратите внимание, что:
4 = 2 * 2,
8 = 2 * 2 * 2,
16 = 2 * 2 * 2 * 2,
32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 и т. д.
Здесь количество кодовых комбинаций представляет собой произведение некоторого количества одинаковых множителей, равного разрядности двоичного кода.
Если количество кодовых комбинаций обозначить буквой N, а разрядность двоичного кода - буквой i, то выявленная закономерность в общем виде будет записана так:
N = 2 * 2 * ... * 2.
i множителей
В математике такие произведения записывают в виде:
N = 2 i .
Запись 2 i читают так: «2 в i-й степени».
Задача. Вождь племени Мульти поручил своему министру разработать двоичный и перевести в него всю важную информацию . Двоичный какой разрядности потребуется, если алфавит, используемый племенем Мульти, содержит 16 символов? Выпишите все кодовые комбинации.
Решение. Так как алфавит племени Мульти состоит из 16 символов, то и кодовых комбинаций им нужно 16. В этом случае длина (разрядность) двоичного кода определяется из соотношения: 16 = 2 i . Отсюда i = 4.
Чтобы выписать все кодовые комбинации из четырёх 0 и 1, воспользуемся схемой на рис. 1.13: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111.
1.5.3. Универсальность двоичного кодирования
В начале этого параграфа вы узнали, что, представленная в непрерывной форме, может быть выражена с помощью символов некоторого естественного или формального языка. В свою очередь, символы произвольного алфавита могут быть преобразованы в двоичный. Таким образом, с помощью двоичного кода может быть представлена любая на естественных и формальных языках, а также изображения и звуки (рис. 1.14). Это и означает универсальность двоичного кодирования.
Двоичные коды широко используются в компьютерной технике, требуя только двух состояний электронной схемы - «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0).
Простота технической реализации - главное достоинство двоичного кодирования. Недостаток двоичного кодирования - большая длина получаемого кода.
1.5.4. Равномерные и неравномерные коды
Различают равномерные и неравномерные коды. Равномерные коды в кодовых комбинациях содержат одинаковое число символов, неравномерные - разное.
Выше мы рассмотрели равномерные двоичные коды.
Примером неравномерного кода может служить азбука Морзе, в которой для каждой буквы и цифры определена последовательность коротких и длинных сигналов. Так, букве Е соответствует короткий сигнал («точка»), а букве Ш - четыре длинных сигнала (четыре «тире»). Неравномерное позволяет повысить скорость передачи сообщений за счёт того, что наиболее часто встречающиеся в передаваемой информации символы имеют самые короткие кодовые комбинации.
Информация, которую дает этот символ, равна энтропии системы и максимальна в случае, когда оба состояния равновероятны; в этом случае элементарный символ передает информацию 1 (дв. ед.). Поэтому основой оптимального кодирования будет требование, чтобы элементарные символы в закодированном тексте встречались в среднем одинаково часто.
Изложим здесь способ построения кода, удовлетворяющего поставленному условию; этот способ известен под названием «кода Шеннона - Фэно». Идея его состоит в том, что кодируемые символы (буквы или комбинации букв) разделяются на две приблизительно равновероятные группы: для первой группы символов на первом месте комбинации ставится 0 (первый знак двоичного числа, изображающего символ); для второй группы - 1. Далее каждая группа снова делится на две приблизительно равновероятные подгруппы; для символов первой подгруппы на втором месте ставится нуль; для второй подгруппы - единица и т. д.
Продемонстрируем принцип построения кода Шеннона - Фэно на материале русского алфавита (табл. 18.8.1). Отсчитаем первые шесть букв (от «-» до «т»); суммируя их вероятности (частоты), получим 0,498; на все остальные буквы (от «н» до «сф») придется приблизительно такая же вероятность 0,502. Первые шесть букв (от «-» до «т») будут иметь на первом месте двоичный знак 0. Остальные буквы (от «н» до «ф») будут иметь на первом месте единицу. Далее снова разделим первую группу на две приблизительно равновероятные подгруппы: от «-» до «о» и от «е» до «т»; для всех букв первой подгруппы на втором месте поставим нуль, а второй подгруппы"- единицу. Процесс будем продолжать до тех пор, пока в каждом подразделении не останется ровно одна буква, которая и будет закодирована определенным двоичным числом. Механизм построения кода показан на таблице 18.8.2, а сам код приведен в таблице 18.8.3.
Таблица 18.8.2.
|
Двоичные знаки |
|||||||||
Таблица 18.8.3
С помощью таблицы 18.8.3 можно закодировать и декодировать любое сообщение.
В виде примера запишем двоичным кодом фразу: «теория информации»
01110100001101000110110110000
0110100011111111100110100
1100001011111110101100110
Заметим, что здесь нет необходимости отделять друг от друга буквы специальным знаком, так как и без этого декодирование выполняется однозначно. В этом можно убедиться, декодируя с помощью таблицы 18.8.2 следующую фразу:
10011100110011001001111010000
1011100111001001101010000110101
010110000110110110
(«способ кодирования»).
Однако необходимо отметить, что любая ошибка при кодировании (случайное перепутывание знаков 0 и 1) при таком коде губительна, так как декодирование всего следующего за ошибкой текста становится невозможным. Поэтому данный принцип кодирования может быть рекомендован только в случае, когда ошибки при кодировании и передаче сообщения практически исключены.
Возникает естественный вопрос: а является ли составленный нами код при отсутствии ошибок действительно оптимальным? Для того чтобы ответить на этот вопрос, найдем среднюю информацию, приходящуюся на один элементарный символ (0 или 1), и сравним ее с максимально возможной информацией, которая равна одной двоичной единице. Для этого найдем сначала среднюю информацию, содержащуюся в одной букве передаваемого текста, т. е. энтропию на одну букву:
,
где - вероятность того, что буква примет определенное состояние («-», о, е, а,…, ф).
Из табл. 18.8.1 имеем
(дв. единиц на букву текста).
По таблице 18.8.2 определяем среднее число элементарных символов на букву
Деля энтропию на, получаем информацию на один элементарный символ
(дв.
ед.).
Таким образом, информация на один символ весьма близка к своему верхнему пределу 1, а выбранный нами код весьма близок к оптимальному. Оставаясь в пределах задачи кодирования по буквам, мы ничего лучшего получить не сможем.
Заметим, что в случае кодирования просто двоичных номеров букв мы имели бы изображение каждой буквы пятью двоичными знаками и информация на один символ была бы
(дв.
ед.),
т. е. заметно меньше, чем при оптимальном буквенном кодировании.
Однако надо заметить, что кодирование «по буквам» вообще не является экономичным. Дело в том, что между соседними буквами любого осмысленного текста всегда имеется зависимость. Например, после гласной буквы в русском языке не может стоять «ъ» или «ь»; после шипящих не могут стоять «я» или «ю»; после нескольких согласных подряд увеличивается вероятность гласной и т. д.
Мы знаем, что при объединении зависимых систем суммарная энтропия меньше суммы энтропий отдельных систем; следовательно, информация, передаваемая отрезком связного текста, всегда меньше, чем информация на один символ, умноженная на число символов. С учетом этого обстоятельства более экономный код можно построить, если кодировать не каждую букву в отдельности, а целые «блоки» из букв. Например, в русском тексте имеет смысл кодировать целиком некоторые часто встречающиеся комбинации букв, как «тся», «ает», «ние» и т. п. Кодируемые блоки располагаются в порядке убывания частот, как буквы в табл. 18.8.1, а двоичное кодирование осуществляется по тому же принципу.
В ряде случаев оказывается разумным кодировать даже не блоки из букв, а целые осмысленные куски текста. Например, для разгрузки телеграфа в предпраздничные дни целесообразно кодировать условными номерами целые стандартные тексты, вроде:
«поздравляю новым годом желаю здоровья успехов работе».
Не останавливаясь специально на методах кодирования блоками, ограничимся тем, что сформулируем относящуюся сюда теорему Шеннона.
Пусть имеется источник информации и приемник, связанные каналом связи (рис. 18.8.1).
Известна производительность источника информации, т. е. среднее количество двоичных единиц информации, поступающее от источника в единицу времени (численно оно равно средней энтропии сообщения, производимого источникам в единицу времени). Пусть, кроме того, известна пропускная способность канала, т. е. максимальное количество информации (например, двоичных знаков 0 или 1), которое способен передать канал в ту же единицу времени. Возникает вопрос: какова должна быть пропускная способность канала, чтобы он «справлялся» со своей задачей, т. е. чтобы информация от источника к приемнику поступала без задержки?
Ответ на этот вопрос дает первая теорема Шеннона. Сформулируем ее здесь без доказательства.
1-я теорема Шеннона
Если пропускная способность канала связи больше энтропии источника информации в единицу времени
то всегда можно закодировать достаточно длинное сообщение так, чтобы оно передавалось каналом связи без задержки. Если же, напротив,
то передача информации без задержек невозможна.
Всем известно, что компьютеры могут выполнять вычисления с большими группами данных на огромной скорости. Но не все знают, что эти действия зависят всего от двух условий: есть или нет ток и какое напряжение.
Каким же образом компьютер умудряется обрабатывать такую разнообразную информацию?
Секрет заключается в двоичной системе исчисления. Все данные поступают в компьютер, представленные в виде единиц и нулей, каждому из которых соответствует одно состояние электропровода: единицам - высокое напряжение, нулям - низкое или же единицам - наличие напряжения, нулям - его отсутствие. Преобразование данных в нули и единицы называется двоичной конверсией, а окончательное их обозначение - двоичным кодом.
В десятичном обозначении, основанном на десятичной системе исчисления, которая используется в повседневной жизни, числовое значение представлено десятью цифрами от 0 до 9, и каждое место в числе имеет ценность в десять раз выше, чем место справа от него. Чтобы представить число больше девяти в десятичной системе исчисления, на его место ставится ноль, а на следующее, более ценное место слева - единица. Точно так же в двоичной системе, где используются только две цифры - 0 и 1, каждое место в два раза ценнее, чем место справа от него. Таким образом, в двоичном коде только ноль и единица могут быть изображены как одноместные числа, и любое число, больше единицы, требует уже два места. После ноля и единицы следующие три двоичных числа это 10 (читается один-ноль) и 11 (читается один-один) и 100 (читается один-ноль-ноль). 100 двоичной системы эквивалентно 4 десятичной. На верхней таблице справа показаны другие двоично-десятичные эквиваленты.
Любое число может быть выражено в двоичном коде, просто оно займет больше места, чем в десятичном обозначении. В двоичной системе можно записать и алфавит, если за каждой буквой закрепить определенное двоичное число.
Две цифры на четыре места
16 комбинаций можно составить, используя темные и светлые шары, комбинируя их в наборах из четырех штук Если темные шары принять за нули, а светлые за единицы, то и 16 наборов окажутся 16-единичным двоичным кодом, числовая ценность которого составляет от нуля до пяти (см. верхнюю таблицу на стр. 27). Даже с двумя видами шаров в двоичной системе можно построить бесконечное количество комбинаций, просто увеличивая число шариков в каждой группе - или число мест в числах.
Биты и байты
Самая маленькая единица в компьютерной обработке, бит - это единица данных, которая может обладать одним из двух возможных условий. К примеру, каждая из единиц и нулей (справа) означает 1 бит. Бит можно представить и другими способами: наличием или отсутствием электрического тока, дырочкой и ее отсутствием, направлением намагничивания вправо или влево. Восемь битов составляют байт. 256 возможных байтов могут представить 256 знаков и символов. Многие компьютеры обрабатывают байт данных одновременно.
Двоичная конверсия. Четырехцифровой двоичный код может представить десятичные числа от 0 до 15.
Кодовые таблицы
Когда двоичный код используется для обозначения букв алфавита или пунктуационных знаков, требуются кодовые таблицы, в которых указано, какой код какому символу соответствует. Составлено несколько таких кодов. Большинство ПК приспособлено под семицифровой код, называемый ASCII, или американский стандартный код для информационного обмена. На таблице справа показаны коды ASCII для английского алфавита. Другие коды предназначаются для тысяч символов и алфавитов других языков мира.
Часть таблицы кода ASCII
Двоичный код представляет собой форму записи информации в виде единиц и нулей. Такая является позиционной с основанием 2. На сегодняшний день двоичный код (таблица, представленная немного ниже, содержит некоторые примеры записи чисел) используется во всех без исключения цифровых устройствах. Его популярность объясняется высокой надежность и простотой данной формы записи. Двоичная арифметика весьма проста, соответственно, ее легко реализовать и на аппаратном уровне. компоненты (или как их еще называют - логические) весьма надежны, так как они оперируют в работе всего двумя состояниями: логической единицы (есть ток) и логического нуля (нет тока). Тем самым они выгодно отличаются от аналоговых компонентов, работа которых основана на переходных процессах.
Как составляется двоичная форма записи?
Давайте разберемся, каким образом формируется такой ключ. Один разряд двоичного кода может содержать всего два состояния: ноль и единицу (0 и 1). При использовании двух разрядов появляется возможность записать четыре значения: 00, 01, 10, 11. Трехразрядная запись содержит восемь состояний: 000, 001 … 110, 111. В результате получаем, что длина двоичного кода зависит от числа разрядов. Это выражение можно записать с помощью следующей формулы: N =2m, где: m - это количество разрядов, а N - число комбинаций.
Виды двоичных кодов
В микропроцессорах такие ключи применяются для записи разнообразной обрабатываемой информации. Разрядность двоичного кода может существенно превышать и его встроенной памяти. В таких случаях длинные числа занимают несколько ячеек запоминающего устройства и обрабатываются с помощью нескольких команд. При этом все сектора памяти, которые выделены под многобайтный двоичный код, рассматриваются в качестве одного числа.
В зависимости от необходимости предоставления той или иной информации, различают следующие виды ключей:
- беззнаковые;
- прямые целыезнаковые коды;
- знаковые обратные;
- знаковые дополнительные;
- код Грея;
- код Грея-Экспресс.;
- дробные коды.
Рассмотрим более детально каждый из них.
Беззнаковый двоичный код
Давайте разберемся, что же представляет собой такой вид записи. В целых беззнаковых кодах каждый разряд (двоичный) представляет степень цифры два. При этом наименьшее число, которое можно записать в такой форме, равно нулю, а максимальное можно представить следующей формулой: М=2 п -1. Эти два числа полностью определяют диапазон ключа, которым можно выразить такой двоичный код. Давайте рассмотрим возможности упомянутой формы записи. При использовании данного вида беззнакового ключа, состоящего из восьми разрядов, диапазон возможных чисел составит от 0 до 255. Шестнадцатиразрядный код будет иметь диапазон от 0 до 65535. В восьмиразрядных процессорах для хранения и записи таких чисел используют два сектора памяти, которые располагаются в соседних адресатах. Работу с такими ключами обеспечивают специальные команды.
Прямые целые знаковые коды
В данном виде двоичных ключей старший разряд используется для записи знака числа. Нуль соответствует плюсу, а единица - минусу. В результате введения данного разряда диапазон закодированных чисел смещается в отрицательную сторону. Получается, что восьмиразрядный знаковый целый двоичный ключ может записать числа в диапазоне от -127 до +127. Шестнадцатиразрядный - в диапазоне от -32767 до +32767. В восьмиразрядных микропроцессорах для хранения подобных кодов используют два соседних сектора.
Недостатком такой формы записи является то, что знаковые и цифровые разряды ключа необходимо обрабатывать раздельно. Алгоритмы программ, работающих с этими кодами, получаются очень сложными. Для изменения и выделения знаковых разрядов необходимо применять механизмы маскировки этого символа, что способствует резкому увеличению размеров программного обеспечения и уменьшению его быстродействия. С целью устранения данного недостатка был введен новый вид ключа - обратный двоичный код.
Знаковый обратный ключ
Данная форма записи отличается от прямых кодов только тем, что отрицательное число в ней получается путем инвертирования всех разрядов ключа. При этом цифровые и знаковые разряды идентичны. Благодаря этому, алгоритмы работы с таким видом кодов существенно упрощаются. Однако обратный ключ требует специальный алгоритм для распознавания символа первого разряда, вычисления абсолютной величины числа. А также восстановления знака результирующего значения. Более того, в обратном и прямом кодах числа для записи нуля используют два ключа. Несмотря на то что это значение не имеет положительного или отрицательного знака.
Знаковый дополнительный код двоичного числа
Данный вид записи не имеет перечисленных недостатков предыдущих ключей. Такие коды позволяют проводить непосредственное суммирование как положительных, так и отрицательных чисел. При этом не проводится анализ знакового разряда. Все это стало возможным благодаря тому факту, что дополнительные числа представляют собой естественное кольцо символов, а не искусственные образования, такие как прямые и обратные ключи. Более того, важным фактором является, то что произвести вычисления дополнений в двоичных кодах чрезвычайно просто. Для этого достаточно к обратному ключу добавить единицу. При использовании данного вида знакового кода, состоящего из восьми разрядов, диапазон возможных чисел составит от -128 до +127. Шестнадцатиразрядный ключ будет иметь диапазон от -32768 до +32767. В восьмиразрядных процессорах для хранения таких чисел также используют два соседних сектора.
Двоичный дополнительный код интересен наблюдаемым эффектом, который называют явлением распространения знака. Давайте разберемся, что это значит. Данный эффект заключается в том, что в процессе преобразования однобайтового значения в двухбайтовое достаточно каждому биту старшего байта назначить значения знаковых битов младшего байта. Получается, что для хранения знакового можно воспользоваться старшими битами. При этом значение ключа совершенно не изменяется.
Код Грея
Данная форма записи, по сути, является одношаговым ключом. То есть в процессе перехода от одного значения к другому меняется всего лишь один бит информации. При этом погрешность при считывании данных приводит к переходу от одного положения к другому с незначительным смещением по времени. Однако получение совершенно неверного результата углового положения при таком процессе полностью исключается. Достоинством такого кода является его способность зеркально отображать информацию. Например, инвертируя старшие биты, можно просто менять направление отсчета. Это происходит благодаря управляющему входу Complement. При этом выдаваемое значение может быть как возрастающим, так и спадающим при одном физическом направлении вращения оси. Так как информация, записанная в ключе Грея, имеет исключительно кодированный характер, который не несет реальных числовых данных, то перед дальнейшей работой требуется предварительно преобразовать его в обычную бинарную форму записи. Осуществляется это с помощью специального преобразователя - декодера Грей-Бинар. Данное устройство легко реализуется на элементарных логических элементах как аппаратным, так и программным способом.
Код Грея-Экспресс
Стандартный одношаговый ключ Грей подходит для решений, которые представлены в виде чисел, два. В случаях, где необходимо реализовывать иные решения, из такой формы записи вырезают и используют только средний участок. В результате сохраняется одношаговость ключа. Однако в таком коде началом числового диапазона не является нуль. Он смещается на заданное значение. В процессе обработки данных от генерируемых импульсов отнимают половину разницы между начальным и редуцированным разрешением.
Представление дробного числа в двоичном ключе с фиксированной запятой
В процессе работы приходится оперировать не только целыми цифрами, но и дробными. Такие числа можно записывать с помощью прямых, обратных и дополнительных кодов. Принцип построения упомянутых ключей такой же, как и у целых. До сих пор мы считали, что двоичная запятая должна находиться справа от младшего разряда. Но это не так. Она может располагаться и слева от старшего разряда (в таком случае в качестве переменной можно записывать исключительно дробные числа), и посередине переменной (можно записывать смешанные значения).
Представление двоичного кода с плавающей запятой
Такая форма применяется для записи либо наоборот - очень малых. В качестве примера можно привести межзвездные расстояния или размеры атомов и электронов. При вычислении таких значений пришлось бы применять двоичный код с очень большой разрядностью. Однако нам нет необходимости учитывать космические расстояние с точностью до миллиметра. Поэтому форма записи с фиксированной запятой в данном случае неэффективна. Для отображения таких кодов используется алгебраическая форма. То есть число записывается как мантисса, умноженная на десять в степени, отображающей нужный порядок числа. Следует знать, что мантисса не должна быть больше единицы, а после запятой не должен записываться ноль.
Считается, что двоичное исчисление было изобретено в начале 18-го века математиком из Германии Готфридом Лейбницем. Однако, как недавно открыли ученые, задолго до полинезийского острова Мангареву использовали данный вид арифметики. Несмотря на то что колонизация практически полностью уничтожила оригинальные системы исчисления, ученые восстановили сложные двоичные и десятичные виды счета. Кроме того, ученый Когнитивист Нуньес утверждает, что кодирование двоичным кодом применялось в древнем Китае еще в 9-м веке до н. э. Другие древние цивилизации, например, индейцы майя, также использовали сложные комбинации десятичных и бинарных систем для отслеживания временных интервалов и астрономических явлений.
